Primera sesión de problemas: Ejercicio 1. Línea de transmisión biplaca.

Una línea de transmisión biplaca está formada por dos placas metálicas paralelas entre las que se dispone un material dieléctrico. Las dimensiones de los diferentes elementos, así como sus características electromagnéticas (permitividad, permeabilidad magnética y conductividad) son las indicadas en la figura adjunta. Entre las placas conductoras se aplica un generador de tensión de amplitud $V_{0}$ y frecuencia $f$, conectando la placa situada en $y=0$ a masa.


Se quiere estudiar el comportamiento de esta línea y para ello se pide determinar la ecuación de onda a resolver, la distribución de potencial, la potencia transmitida y las expresiones de cálculo de los parámetros primarios.
Nota: Suponer que se cumple que $W\ll d$ para evitar los efectos de borde.
Para facilitar la resolución del ejercicio siga los pasos siguientes:

1. Indicar qué ocurrirá si no se cumple que $W\ll d$.
2. Analice con qué coordenadas varía el potencial.
3. Justifique que el modo de propagación es un modo TEM.
4. Plantee la ecuación de onda (ecuación de Laplace) a resolver para determinar la distribución del potencial.
5. Resuelva la ecuación de Laplace.
6. Aplique las condiciones de contorno para dar la expresión final de la distribución de potencial.
7. Dibuje la distribución de potencial.
8. Determine las expresiones del campo eléctrico a partir del potencial.
9. Determine el campo magnético a partir del campo eléctrico teniendo en cuenta que el modo de propagación es un TEM.
10. Dibuje las líneas de campo eléctrico y magnético sobre la estructura de la línea.
11. Determine los valores de los parámetros primarios de la línea, a partir de las expresiones correspondientes.

Pistas:

• A ver si nos animamos a discutir este problema antes del miércoles. La primera pregunta tiene que ver con la relación entre el ancho de las placas que forman los dos conductores característicos de una línea de TX y la separación entre ambas. En el link que os he dado (http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ch10.pdf) se dan muchas pistas, pero yo os pregunto algo más: sabemos que las líneas de campo eléctrico salen de un conductor y van hacia otro, pero ¿por qué vale aquí también lo que sabemos del condensador plano y las líneas están básicamente concentradas en la zona entre las caras que se oponen la una a la otra y no se espera que unan las caras no enfrentadas, habiendo además un cierto efecto de borde? O, dicho de otra manera, ¿por qué ocurre eso en el condensador? Si sabemos por qué ocurre en el condensador a lo mejor podemos ver si existen las mismas razones para ello en este caso, de campos que varían con el tiempo.
• La pregunta 3 nos viene a preguntar si esta línea puede soportar un modo TEM y si puede soportar otros. Pensadlo.
• Apartado 3: En clase hemos hablado de que al sustituir las soluciones "tentativas" de los modos axiales , con dependencia del tipo $\exp(w t-\beta z)$, en las ecuaciones del Maxwell, nos quedaba que $\nabla_{t}\vec{E}=0$ .  Se trata ahora de poner también que $\vec{E}=-\nabla_{t} V $

La solución del problema la tenéis aquí.